Matematiğin Adresi=Zeka_Çimento Çaydurt İlkÖğretim Okuluna Bizden Hediye.....
  Matematik Gazetesi
 

ÖDÜLLÜ SORU: 7,7,7,7,1 RAKAMLARINI BİRER KEZ VE DÖRT İŞLEM KULLANARAK 100 SAYISI NASIL ELDE EDİLİR?

PARADOKSLAR:  Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?
          Kendi kendine traş olsa;  kendisini traş edebildiği için  tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir.

 İlginç Sayılar(5):

3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37= 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999

 

Matematik Finali

4 tane üniversite öğrencisi, uyanamadıkları için matematik
finaline geç kalırlar ve okula gidince hocaya arabalarının lastiğinin
patladığını söylerler... Hoca ilk basta inanmaz ama öğrencilerinin
yalvarmalarına dayanamayarak, onları 3 gün sonra sınav yapacağını söyler.
Sınav günü gelince hoca, 4 öğrencinin hepsini bos bir salonun ayrı ayrı
köşelerine oturtur.
Sınav geçme sistemi şöyledir: 100 üzerinden 50 puan alan herkes
sınavı geçebilir... Hocanın hazırladığı sınavda ise ön sayfada 10'ar
puanlık 4 tane basit matematik sorusu vardır... Bunları kolayca çözerler.
Arka sayfada ise 60 puanlık 1 soru vardır: "Hangi lastik
patladı?"

HESABI KUVVETLİ OLANIN BEYNİNDE GRİ MADDE FAZLA

        Bilim adamları bazı çocuklarının matematikte daha başarılı olmasının nedenini ortaya çıkardı. Araştırmaya göre matematik zekası, beyindeki gri hücrelerin miktarına bağlı.

      Londra'daki bir tıp merkezinde yapılan bir araştırmaya göre matematik problemlerini çözmekte zorlanan çocukların beyinlerinin sol yarısında, beyin merkezinin sol yarısında gri maddenin normalden daha az olduğu görüldü.

        İngilizce yayınlanan "Brain" (Beyin ) dergisinde yer alan  araştırmanın sonuçları, matematik zekasıyla "beyin korteksinde sinir hücrelerinden meydana gelen doku" olarak tanımlanan "gri madde" arasında ilişki olduğunu kanıtladı.Bilim adamları, beynin sol bölümünde yer alan anatomik anormallikleri incelemek için erken doğmuş 80 çocuğun beyin tomografilerini çekti. Görüntüler hesap yapma konusunda başarılı ve başarısız olan çocukların beynindeki "gri madde"de farklılık olduğunu ortaya koydu. Matematiği iyi olmayan çocukların beyinlerinin sol yarısında daha az "gri madde" olduğu saptandı.

        Araştırmayı yürüten Dr. Elizabeth Isaacs, araştırmanın matematiği kötü olan bütün çocukların beyinlerinde anormallik olduğu anlamına gelmediğini, ancak beyin araştırmaları açısından önemli bir adım olduğunu söyledi.

ÖDÜLLÜ SORU: Aşağıdaki kümede görünmeyenlerle beraber kaç tane top var? (Üçgen sayıları hatırlayın)

 İlginç Sayılar:

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

 

 

 
Ağanın atları:

          Zengin bir köy ağası vefat eder. Vasiyeti açılır. Mallarının yarısını(1/2) büyük oğluna, dörtte birini(1/4) ortanca oğluna ve beşte birini(1/5) küçük oğluna bırakmıştır. Bütün mallar paylaşılır ancak Ortada 19 tane de "at" vardır. 19'u ne ikiye, ne dörde, ne de beşe bölmek mümkündür. Köyün en akıllı adamına gidip akıl danışırlar. Adam da onlara yardımcı olabileceğini söyler. Der ki:
           -"Benim de bir atım var. Alın bunu size veriyorum. Oldu mu 20 at? Yarısını sen al bakalım (10). Dörtte birini de (5) ortanca kardeşin alsın. Beşte birini de (4) en küçüğünüze verelim. On, beş daha onbeş. Dört daha ondokuz. Verin bakalım şu bizim geriye kalan düldülü...!

 

ÖDÜLLÜ SORU: Elinizde 5lt ve 3lt hacimli iki adet bidon mevcut. Sadece bu iki bidonu kullanarak 4 lt suyu nasıl elde edersiniz?

   

 İlginç Sayılar:

12 x 42 = 21 x 24
23 x 96 = 32 x 69
24 x 84 = 42 x 48
13 x 62 = 31 x 26
46 x 96 = 64 x 69

 

 

ÖDÜLLÜ SORU:  ÇİÇEKLER

Elimdeki çiçeklerin ikisi hariç hepsi papatya, ikisi hariç hepsi gül ve ikisi hariç hepsi karanfil olduğuna göre elimde hangi çiçekten kaç tane bulunmaktadır ?

 

 İlginç Sayılar:

3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²
.

.

    .    

Hızlı Kaplumbağa:

     Bu paradoks, Zenon Paradoksu olarak ta bilinir:

     Hikaye bu ya, kaplumbağanın biri yolda Carl LEWİS'le (Bu ismin gerçek hayatla hiçbir ilgisi yoktur!) karşılaşır. Kısa bir sohbetten sonra kaplumbağa, Lewis'e 100 metre yarışı teklif eder. Önce bu teklife gülüp geçen Lewis, kaplumbağanın gayet ciddi ve ısrarcı olması üzerine isteksiz bir şekilde teklifi kabul eder:
     - Tamam yarışalım ama neyine güvenip benimle yarışmaya kalkıyorsun be birader?
Kaplumbağa, yalnız bir şartı olduğunu söyler:
     - Senden tek isteğim, ben yarışa 10 metre önden başlayacağım. Bu şartla beni kesinlikle geçemezsin. Ne o yoksa korkuyor musun?
Lewis kaplumbağanın şartını kabul eder. Yalnız kaplumbağa bir açıklamada bulunur:
     - Yarışa başladığımızda sen benim ilk başladığım noktaya geldiğinde ben biraz önde olacağım(mesela 10 metre). Bu anda filmi dondurup farkı göre biliriz. Tekrar harekete başladığımızda sen ikinci kez yarışa başladığım noktaya geldiğinde ben biraz daha önde olacağım(mesela 10 cm). Tekrar hareket ettiğimizde benim son olarak geldiğim yere geldiğinde ben mutlaka senin önünde olacağım. Dolayısı ile sen hiçbir zaman beni geçemeyeceksin.
Bu sözleri duyan Carl LEWİS, yarışma fikrinden vazgeçer. Mâlum, itibar meselesi...

PARADOKSLAR: 

Karışım Paradoksu:

          Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:

 Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?

          Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:

          Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:

          İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:

          İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.

 

VECİZE:    İnsanoğlunun değeri bir kesirle ifade edilecek olursak; payı gerçek kişiliğini gösterir, paydası da kendisini ne zannettiğini, payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür.

                                              TOLSTOY

İlginç Sayılar:

(0 x 9) + 8 = 8 
(9 x 9) + 7 = 88
(98 x 9) + 6 = 888
(987 x 9) + 5 = 8888
(9876 x 9) + 4 = 88888
(98765 x 9) + 3 = 888888
(987654 x 9) + 2 = 8888888
(9876543 x 9) + 1 = 88888888
(98765432 x 9) + 0 = 888888888
(987654321 x 9) - 1 = 8888888888

MATEMATİK YETİSİ ÇOK ERKEN GELİŞMEYE BAŞLIYOR
Araştırma ekibinin başkanı Oregon Üniversitesi uzmanı Michael Posner, deney sonuçlarının bebeklerle yetişkinlerin matematiksel işlem süreçlerinin özdeş olduğunu, beyin anatomisinin bebekliğin çok erken evresinde veya ana rahminde şekillendiğini vurguluyor. Posner, “Deney, insanlardaki yargı koyma yetisinin bebekliğin en erken döneminde gelişmeye başladığını gösteriyor” diye konuştu. Önceki araştırmalar karar vermenin ve işlem yetisinin çocuklukta 2 buçuk yaşından sonra gelişmeye başladığını varsayıyordu.
 

6 AYLIK MATEMATİKÇİ BEBEKLER

Bilim insanları, bebeklerin 6 aylıkken dahi, matematiksel hataları fark edebilecek kadar zihinsel yetenek geliştirdiğini savunuyor.

 NEW YORK - ABD’den ve İsrail’den bilim insanları, 6 aylık 24 bebek üzerinde bir deney yaptı. Deneyde bebeklere bir kukla şovu izlettirildi. Programda kuklaların sayısı artırılıyor ve azaltılıyor, bu sayede bebeklerin toplama ve çıkarma işlemlerine reaksiyonları ölçülüyor. Önceki araştırmalar karar vermenin ve işlem yetisinin çocuklukta 2 buçuk yaşından sonra gelişmeye başladığını varsayıyordu.

İzletilen videoda, ilk önce iki adet kukla görünüyor. Şov sonunda bir kukla ekrandan çıkıyor ve bir kukla kalıyor. Bu aşamada, ekran karartılıyor. Ekran yeniden aydınlandığında bir test başlıyor, bir ekranda tek bir kukla gösterilirken, diğer ekranda iki kukla birden gösteriliyor. Deneyde bebeklerin eksilen bir adet kuklayı fark edip fark etmediklerini ortaya çıkarılması hedefleniyor.

DOĞRU CEVAP; 2 - 1 = 1
Bebekler, iki kuklalı ekrana 8.04 saniye bakıyor, tek kuklalı ekrana ise 6.94 saniye bakıyor. Tek kuklalı ekran 2-1=1 işleminin karşılığı iken, iki kuklalı ekran matematiksel olarak ‘yanlış’ sayılıyor. Bu aşamada, bebeklerin iki kuklalı ‘yanlış’ sonucu içeren ekrana bakmaları bu yanlışlığı fark etmeleri ve bunu anlamaya çalıştıkları şeklinde yorumlanıyor. Tek kuklalı ekrana daha kısa süre bakmaları ise, bebeklerin doğru sonucu daha çabuk algıladıkları şeklinde değerlendiriliyor.

Deney sırasında bebeklerin kafalarına 128 adet sensör yerleştirildi. Bu sensörler beyindeki nörolojik faaliyetleri sinirlerden algılayarak bilgisayara aktarıyor. Yapılan analizlerde, bebeklerin matematiksel işlemler sırasında beyin faaliyetlerinin yetişkinlerin aynısı olduğu tespit edildi.

ÖDÜLLÜ SORU: 1 /11 /21 /1211 /111221 / /13112221

Alakargalar topladıkları palamutları daha sonra kullanmak üzere toprağa gömerler. Bazen günde 1.000 tane palamut gömdükleri olur. Ormanda her yer birbirine benzemektedir. Bu nedenle bir insan için bile ormanda bir yeri bulmak çok zordur. Peki alakargalar palamutları sakladıkları yerleri nasıl bulurlar? Çok akılcı bir şey yaparak, buralara işaret koyarlar. Bunun için de bazen ağaç dallarını, bazen de taş parçalarını kullanırlar. Yine de koskoca ormanın içinde toprağın altında bir yeri bulmak çok zordur. Fakat yapılan deneylerde bu kuşların aradan 9 ay geçtikten sonra bile palamutları buldukları ortaya çıkmıştır. bulamadıkları palamutlar da olur, Alakargaların unuttuğu palamutlar yavaş yavaş ormana dönüşür.
 
 

                                                                           

ALAN  TURING      

Doğru Parçası Paradoksu:

           Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks başlıyor:

           Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.

           Noktayı boyutlu kabul edelim.  Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.

 

 

Şekildeki üçgen gibi 9 kibrit kullanarak 7 tane üçgen nasıl oluşturabilirsiniz?

Alan Turing
Matematikle savaş kazanan adam

Alan Turing, II. Dünya Savaşı'nda Almanlar'ın "çözülemez" dediği şifrelerini çözen çok zeki bir matematikçi, bir kahraman ve dahiydi.

Alan Mathison Turing, 1912 yılında orta sınıftan memur bir babanın ikinci çocuğu olarak doğdu. Çocukluğunun büyük bir kısmını, babasının işi dolayısıyla Hindistan'da, gardiyanların arasında geçirdi. Hayalci ve toplumdan uzak bir genç olarak amatör fen projelerine ilgi duydu. Derin araştırmalar yapar, mıknatısla metal arar ya da arıları yuvalarına geri dönene kadar izlerdi.
10 yaşına geldiğinde "Natural Wonders Every Child Should Know" (Her Çocuğun Bilmesi Gereken Doğa Mucizeleri) adlı kitabı okudu ve bu, yaşamının dönüm noktası oldu. Bu kitap sayesinde, doğada çözüm bekleyen gizemleri keşfetti. Örneğin, canlıların tek bir hücreden oluşması gibi. Ayrıca, kitaptan öğrendiği çok önemli bir nokta da, bu gizlerin bilim yoluyla incelenebilmesiydi.

Turing, o andan itibaren, sorularını yanıtlayamayacak konularla ilgilenmenin zaman kaybı olacağını düşündü. Devlet okulu Sherborne'da sorunlar yaşaması kaçınılmazdı. Çünkü, yaşıtlarına göre çok ileri bir düzeydeydi. Matematik ve fen, arkadaşlarının korkulu rüyasıyken, Turing bu derslere büyük bir ilgi duyuyordu. 17 yaşında, kuramsal bilimin merkezi Cambridge Üniversitesi'ne, matematik okumak üzere başvurmaya karar verdi. Trinity Koleji tarafından iki kez reddedildi; ancak, King Koleji tarafından kabul edildi ve öğretmenlerini, yaratıcılığıyla derinden etkiledi.

1934'te, sınıfını birincilikle bitirerek mezun oldu. Bu başarısı, bilimsel araştırmalar yapmak üzere Cambridge Üniversitesi'nden burs kazanmasına yol açmış ve ömür boyu araştırma yapma fırsatı doğurmuştu. Ancak o yaz, Turing'in Grantchester çayırında otururken ansızın yaşadığı beyin fırtınası, yaşamını ve 20. yüzyılı değiştirecekti.

Dünyanın en iyi matematikçilerini zorlayan bir problemi rasgele bulmuştu. Bulduğu çözüm, programlanabilir bilgisayar fikrinin doğmasına da yol açacaktı. Sorun, matematiğin herhangi bir matematiksel varsayımın doğruluğunu ispat edip edemeyeceğiydi. 2+2'nin 4 ettiği sonucunun doğruluğundan; 11, 13 ,17, 19, 29 ve 31 gibi sonsuz sayıdaki asal sayıların var olup olmadığı örneklerine kadar, eski gizlerden yola çıkarak, matematik problemlerini çözebilecek bir yöntem aradı.
Turing, "Decidability Problem" denen bu problemi, Cambridge matematikçilerinden Max Newman'ın derslerinde duymuştu. Max Newman, mekanik yöntemin (mechanical process) işe yarayıp yaramayacağını merak ediyordu.Matematikçiler için mekanik yöntem zahmetli bir yol. Örneğin, çocuklar bu yöntemi uzun işlemleri yaparken "elde var 2, ekle 1" şeklinde kullanı-yorlar. Ama 23 yaşındaki Turing, bu yöntemi daha da geliştirmeye karar verdi. Hayalinde, her türlü matematik problemini inceleyebilen ve doğru olup olmadığını kontrol edebilen bir cihaz düşledi.
Turing'e göre cihazın yapısı basit olmalıydı. Sonlu satır üstündeki simgeleri okuyarak, yazarak ya da silerek, tek bir simgeyle matematiğin özünü yakalayabilmeliydi. Turing, "Decidability Problem"ın çözümünün, veriler ne olursa olsun, bu makinenin bir sonuca varmasında yattığını gördü. Dolayısıyla makine, varsayımın doğru ya da yanlış olduğuna karar vermeli, sonunda da işlemi durdurmalıydı. Makine, hangi yöntemle yaklaşılırsa yaklaşılsın, çözülemeyecek bir paradoksa "bu varsayım yanlış" sonucunu vermeliydi. Şaşırtıcı bir şekilde Turing, bilimin çözemeyeceği problemlerin olduğunu gösterdi. Hâlâ, 20'li yaşlarındaki bu düşünceleriyle, dünya çapında bir matematikçi olarak kabul ediliyor.

Alan Turing
Matematikle savaş kazanan adam

devamı

ÖDÜLLÜ SORU:  

Bir masanın bir ucu Kuzey'i diğer ucu Güney'i göstermektedir. Bu masanın bir ucunda Ahmet, diğerinde Mehmet oturmaktadır. Ahmet Kuzey’e doğru, Mehmet ise Güney’e doğru bakmaktadır. Ortam aydınlıktır. Hem Ahmet'in, hem de Mehmet'in gözleri sağlamdır, görmelerini engelleyecek gözlük, bağ vb. takmamışlardır. Aralarında da bir engel yoktur. Buna rağmen birbirlerini görememektedirler. Nasıl olur?

Makineler insanlar gibi düşünebilecek mi?
50 yılı aşkın bir süre önce, Alan Turing, çağımızda da zihni kurcalayan bir soruya takıldı: "Bilgisayarlar bizim gibi düşünebilir mi?"
Çoğu insan, bu düşüncenin gülünç olduğuna inanıyor. Asıl sorun, "düşünmek" kelimesiyle kastedilenin ne olduğu. Turing, ötekilerden farklı olarak, karışıklığa "Turing Test" fikriyle son verdi. Buna göre, eğer çalıştığınız bilgisayarın yanıtları bir insandan beklenebilecek yanıtlarsa, o zaman makinenin düşündüğü söylenebilir.
1990'da Amerikalı bilim adamı Dr. Hugh Loebner, ilk düşünen bilgisayarı yapacak kişiye 100.000 dolar ödül koydu. 1990'dan beri her yıl, dünyanın en iyi bilim adamlarının icatları 10 jüri üyesi önünde deneniyor. Jüri üyeleri, 5 dakika içinde yanıtların bilgisayardan mı, insandan mı geldiğine karar vermek zorundalar. Loebner Ödülü'ne başvuranların bir kısmı, jüri üyelerinin yüzde 50'sini aldatmayı başardı. Ama, şu ana kadar hiçbiri bütün jüriyi ikna edemedi.

Turing'in zekâsı, kısa zamanda çok daha acil ve tehlikeli bir amaç için kullanıldı: İngiltere'nin savaşta yenilmesini engellemek için... 1938 yılında, II. Dünya Savaşı'na bir yıl kala Turing, Bletchley Parkı'na gizli bir göreve katılması için davet edildi. Görevi, Nazi askeri şifrelerini çözmekti.

Almanya'nın, Enigma diye adlandırdığı bu şifre makinesi oldukça karışıktı. Alet, mesajları, rotor ve elektrik akımları yardımıyla milyonlarca farklı şekle dönüştürüyordu. Turing'in görevi, makinenin yolladığı karmaşık mesajları açıklığa kavuşturmaktı. Polonyalı şifre uzmanları, gelişmiş matematik yöntemleriyle Enigma'nın eksikliklerini belirlemiş, hatta Naziler'in birtakım gizli mesajlarını çözmeyi başarmışlardı. Ama, savaş yaklaştıkça Enigma gelişti ve Polonya daha ileri gidemedi. Mesajlar çok hızlı bir şekilde çözülmeliydi; çünkü içerdikleri bilgiler sürekli değişiyordu. Bu, çok hız gerektiren ve oldukça zor bir görevdi.

Turing'in kıvrak zekâsı bir kez daha çözümü buldu. Enigma'nın, olası bir çözümlemeye önlem bağlamında, çok büyük sayılardan oluştuğunu fark etti. Sözgelimi, "A" harfi "G", "G" de "A" şeklinde çözülüyordu. Turing'in, bir mesajdaki kelimelerin trilyonlarca olası çözümlemelerini çıkarıp, sadece işe yarayacakları ayırabilen bir makineye ihtiyacı vardı.

Bu harika bir adımdı ve Turing'in bu fikrinden hareketle İngiltere, Alman denizaltısı "U-Boat"ların mesajlarını bir saatlik bir aktarım süresinde çözebildi. Ama Almanlar, 1942'de Enigma'yı yenilediler ve geliştirdiler. Daha da kötüsü, şifre çözücüler, Hitler ile generallerinin daha kapsamlı "Geheimschreiber" adlı bir şifre makinesi kullandıklarını saptadı. Henüz 29 yaşındaki Turing ile meslektaşları, bu gelişmelere ayak uydurmak zorundalardı ve yeni yeni ortaya çıkmaya başlayan "elektronik" teknolojisini denemeye karar verdiler.

Sonuç, "Clossus" adlı bir makineydi. Bir oda büyüklüğündeki cihaz, belirlediği şifredeki 25.000 karakteri, bir saniyede tarayan 1.500 radyo lambasından oluşuyordu. Bugüne kadar Colossus'un nasıl çalıştığı gizli tutuldu. Colossus, Müttefikler'in Hitler'in en gizli şifrelerine girmelerini sağlamış ve bu da Hitler'in mağlubiyetiyle sonuçlanmıştı.


Tarihçiler, Colossus'un Avrupa'daki savaşı iki yıl kısalttığını ve buna bağlı olarak sayısız yaşam kurtardığını belirtiyorlar. Ayrıca cihaz, Turing'in 10 yıldan daha az bir süre önce hayalini kurduğu modern bilgisayarın öncüsü sayılıyor.

Hitler'in yenilmesinden sonra, Turing, dünyanın ilk elektronik beynini yaratmaya karar verdi. Teddington'daki Ulusal Fizik Laboratuvarı'nda çalıştı ve ufak değişikliklerle denklemleri çözebilen, maaş ayarları yapabilen ya da satranç oynayan "Automatic Computing Engine" (otomatik hesaplama cihazı) projesini geliştirdi. Hatta Turing, ilk dil programını tasarladı. Bürokratik çekişmeler nedeniyle projesini durdurmak zorunda kaldı. Ancak, 1948'de, basitçe tasarlanmış Mark-1 adındaki bilgisayarın geliştirilmesi çalışmalarına katılmak üzere Manchester Üniversitesi'e gitti. Mark-1'e önemli ekler yaptı.Günümüzde Mark-1'e ek gerçek bilgisayar olarak kabul ediliyor. Ama Turing'in zekâsı, onu yine başka yönlere itiyordu. Yapay zekâyla ilgilenmeye başlamış ve 1950'de, günümüzün gündeminden düşmeyen "makineler düşünebilir mi?" sorusunun yanıtını bulmak için testler yapmıştı.

Turing daha sonraları, İlk kez 10 yaşında okuduğu "Natural Wonders Every Child Should Know" kitabına geri döndü. Kitapta, bir tek hücrenin trilyonlarca parçaya bölünerek canlıları nasıl oluşturduğu ve her bir hücrenin ne yapması gerektiğini bildiği anlatılıyordu. Ama, kitaba göre, hücrelerin bunu nasıl gerçekleştirdiği biraz gizemliydi. Turing, yanıtı buldu ve kimyasal maddelerin etkileşimlerini içeren karışık denklemleri bir yana bıraktı.

       

İŞTE BU YALAN

Kral ülkenin yalancıları arasında bir yarışma açtı. "İşte bu yalan," diyebileceği bir yalan uydurana bir küp altın vadetti. Yalancılar akın akın saraya gelip yalanlarını söylediler, fakat yalanlar ne kadar akıl almaz olursa olsun kral hep, "olabilir, niye olmasın ..." gibi cevaplar veriyordu. Böylece hem eğleniyor, hem de bir küp altından olmuyordu.
Derken kahramanımız elinde boş bir küple huzura çıktı ve konuştu:

"-Rahmetli dedeniz bir savaşa çıkacaktı, ancak o günlerde hazinede yeterli para yoktu. Dedeniz dedemden bu küple bir küp altın borç aldı ve 'bu borcumu torunum torununa ödeyecek,' diye söz verdi. Şimdi, dedenizin borcunu bana ödemeniz için buraya geldim."

Kral, "işte bu kuyruklu bir yalan!" deyince adam, "o halde ödülümü alayım," dedi.
Kral, "ımm şeyy doğru da olabilir" deyince adam, "o halde borcunuzu ödeyin" dedi

 

Ortadaki noktaya bakın ve ekrana yaklaşıp uzaklaşın

 
Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu:

a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun:

a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafı (a-b) ile çarptık.
a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtık.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attık.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sağ tarafa attık.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sağ tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldık.
a=b....................................................(a-b-c) ler sadeleşti.

 

  • Hayat sadece iki şey için güzel;matematiği keşfetme ve öğretme
                                                  Simeon Poisson 

ÖDÜLLÜ SORU:      KAPI NUMARASI VE YAŞLAR
 
Nüfus sayımında, nüfus memuru ile matematikçi arasında şu konuşma olur.
-“Kaç kızınız var?”
-“3”
-“Yaşlarının çarpımı 72, toplamı ise evimin kapı numarasıdır.
Nüfus memuru kapıya bakar ve biraz düşündükten sonra,
-“Bu bilgiler yeterli değil.”
-“En büyük kızım satranççıdır.”
-“Şimdi oldu. Teşekkürler.”
 
Kızların yaşlarını siz de bulunuz
 

İLGİNÇ SAYILAR

1+2= 3
4+5+6= 7+8
9+10+11+12=  13+14+15
16+17+18+19+20= 21+22+23+24

 

ON YEDİ DEVE

   Bir zamanlar, üç erkek evladı olan yaşlı bir adam varmış. Adamcağız, ölüm döşeğinde çocuklarını etrafına toplamış ve:
   “Evlatlarım ben bu dünyadan gidiciyim arkamdan birbirinizle çekişmeyesiniz diye malımı mülkümü şimdiden aranızda ben paylaştırmak istiyorum.” demiş Daha sonra, adam malının yarısını en büyük oğluna, üçte birini ortanca oğluna, dokuzda birini ise en küçük oğluna vermiş.
   Adam öldüğünde, çocuklar babalarının mallarını toparlamışlar. Kalan miras, on yedi deveden ibaretmiş.
   Bu durumda, çocuklar bunu babalarının istedikleri şekilde nasıl taksim edeceklerini düşünmeye başlamışlar. İşin içinden çıkamayınca da, çocukluk yıllarından beri babalarının arkadaşı olan başka bir ihtiyara danışmayı kararlaştırmışlar.
   Adam:
   “Biliyorsunuz ben fakir biriyim” demiş.” Yalnız bir devem var. Ama madem ki siz bu miras taksiminin içinden bu şekilde çıkarmıyorsunuz, bu deve de sizin olsun.”
   Adam, develeri bu şekilde on sekize tamamladıktan sonra, dokuz deveyi babanın vasiyeti uyarınca en büyük oğluna vermiş. Ortanca oğluna ise, üçte bir hisseyi, yani altı deveyi ayırmış. En küçük oğula da, dokuzda bir hisse için, iki deve vermiş. Sonra bakmış ki, bir deve artık kalıyor.
   Artık kalan kendi devesini geri alan adam, evine doğru yürürken, “Hikmetinden sual olunmaz” diye tekrarlayıp duruyormuş.

 

      

 

ÜÇGENİN TANIMI

İlkokulda, matematik dersinde öğretmen üçgenin alanını, cocuklara şu şekilde öğretmiş: Bir üçkenarlının alanı, yatayımı ile diklesiminin vuruşumunun, ikiye bölümüdür. Çocuk bunu güzelce ezberlemiş.

Akşam babası evde sormuş:

-Bu gün okulda ne öğrendiniz?

-Matematik dersinde, bir üçkenarlının alanını öğrendik babacığım

-Ya öyle mi, peki nasıl öğrendiniz?

-Bir üçkenarlının alanı, yatayımı ile dikleşiminin vuruşumunun,
 ikiye bölümüdür.

Yavrum, yanlış öğretmişler size. Doğrusu : Bir üçgenin alanı tabanı ile yüksekliğinin  çarpımının yarısına eşittir. O sırada, bir yandan gazetesini okuyan, bir yandan da torunuyla oğlunun konuşmasını dinleyen dede, dayanamayıp söze girmiş :İkinizin de tanımı yanlış! Bir müsellesin mesaha-i sathiyesi, kaidesiyle irtifaının hasıl-ı darpının nısfına müsavidir.

       Bilim deyince, onda hakikat diye öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şekliyle matematikte bulunur. O halde bilim o disiplindir ki; önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmayan disiplinler bilimin dışında kalacaklardır.                                                     M.Kemal Atatürk


ÖDÜLLÜ SORU:      KAPI NUMARASI VE YAŞLAR
 
Nüfus sayımında, nüfus memuru ile matematikçi arasında şu konuşma olur.
-“Kaç kızınız var?”
-“3”
-“Yaşlarının çarpımı 72, toplamı ise evimin kapı numarasıdır.
Nüfus memuru kapıya bakar ve biraz düşündükten sonra,
-“Bu bilgiler yeterli değil.”
-“En büyük kızım satranççıdır.”
-“Şimdi oldu. Teşekkürler.”
 
Kızların yaşlarını siz de bulunuz 

 

      

 
MATEMATİK ZOR DEĞİLDİR
            Pek çok matematik dersini sevmez,matematikten korkar.Çoğunun matematik korkusu da akılcı bir temele dayanmaz.Öğrenci bir dersi sevmiyorsa o dersi başarması da mümkün değildir.Öğrenci sevmediği dersi dinlemek istemez,dersten sıkılır , dinlemediği için anlayamaz , anlayamadığı için dinlemek istemez ve bu  bir kısırdöngü olarak sürüp gider.
            Matematik sadece bir örnektir.Problem hangi ders ya da derslerleyse tamamı için geçerlidir .Matematikten yola çıkmamın nedeni , çok sayıda öğrencide ortak bir matematik korkusu olduğunu gözlemlememdir.            Acaba matematik gerçekten can sıkıcı ve sevimsiz bir dersimidir?  Matematiğin özünde sevimsizlik olabilir mi?Bu sorunun cevabı soruyu sorduğumuz kişiye göre değişir.Senelerdir matematiği karnesinde zayıf  olan,sayısız matematik dersi almasına , dershanelere gitmesine  ve uzun saatler harcamasına rağmen , öğretmenler kurulu kararıyla zar zor matematikten sınıf geçen bir öğrenciye sorsanız, size matematiğin dünyanın en zor ve sıkıcı dersi olduğunu söyleyebilir. Aynı konuyu birde matematik profesörüne sorarsanız size matematiğin nasıl olağanüstü , muhteşem zevkli bir bilim dalı olduğunu,bir bulmaca çözmek yada büyük şeyler başardığında yaşadığı mutluluğu matematikte bulduğunu söyleyecektir. Matematik profesörü matematikten müthiş zevk almaktadır. Eğer matematikten zevk almasaydı matematik dalında profesörlüğe ulaşamazdı.İnsan yaptığı işi ne kadar seviyorsa  başarılı olma ve yükselme şansı o kadar fazla olur.Sevmediğiniz işi yapmak istemezsiniz.Gönülsüz ve zorla yapılan işte başarılı olamazsınız.            Aslında matematik profesörü gibi uzak bir örneğe de gerek  yok. Matematiği çok seven üniversite tercihinde matematik, matematik öğretmenliği, matematik mühendisliği ,istatistik gibi bölümleri ilk tercih olarak yapan öğrenciler vardır.Bu öğrenciler matematiği meslek olarak seçecek kadar çok sevmektedirler.            Bir sınıf  ve sonrada  bu sınıfta bulunan   öğrenciyi ele alalım.

Sınıf  - Ders matematik dersi öğretmen tahtada konuyu anlatıyor. Bir grup öğrenci büyük bir zevkle öğretmenlerini dinliyor , anlamadığı yerleri soruyor, sorulan problemleri çözmeye çalışıyor aktif olarak derse katılıyor . bu grubun ilgisiz olan gruba göre oldukça üstün bir başarı sağlaması ve dersten zevk alması kaçınılmaz.

Öğrenci – bu sınıftan bir öğrenciyi düşünelim  , matematiği sevmektedir.Ama şu anda anlatılan konuyu bir türlü anlayamamaktadır .Çünkü Karnı açtır Uykusu vardır.Derse konsantre olamamaktadır.öğrenci konuyu anlayamamasının nedenini içinde bulunduğu fiziksel olumsuz koşullar değil de konunun zor olmasına bağlayabilir.            Bir kısım öğrenci tamamen ön yargılıdır. Matematiği yapamadıklarına kanaat getirmişlerdir. Dersi dinlemeye ,  anlamaya çalışmazlar. Her matematik dersi geldiğinde kırk dakikalık ders süresinin nasıl geçeceğini kara kara düşünürler.Şimdi esas önemli konu: Bir dersin aynı zamanda hem zevkli hem sıkıcı olması yada bazı konuların zevkli bazı konuların sıkıcı olması mümkün müdür?Elbette ki hayır.
            Bir dersin zevkli ya da sıkıcı olduğuna karar veren bizim zihnimizdir.
            Hiçbir dersin özünde sevimsizlik ya da  sıkıcılık yoktur . Siz o derse nasıl bakarsanız öyle görürsünüz. 

 
 
İLGİNÇ SAYILAR

666 = (6¹+6+6¹)+(6³+6³+6³)

666 = 16-26+36  (Aynı Sonucu Verir.)

 

MATEMATİĞİ BİLMEYEN İŞÇİ  
Sayın şantiye şefim;
geçirmiş olduğum iş kazasından
dolayı hazırlamış olduğum tutanağa "planlama hatası"
diye yazmıştım. Bunu yeterli görmeyerek ayrıntılı
anlatmamı istemişsiniz. Şu anda hastanede yatmama
sebep olan hadiseler aynen aşağıda anlattım gibi
olmuştur: Bildiğiniz gibi ben bir duvar ustasıyım.
İnşaatın altıncı katındaki işimi bitirdiğim zaman
biraz tuğla artmıştı. Yaklaşık 250 kg kadar olduğunu
tahmin ettiğim bu tuğlaları aşağıya indirmek gerekiyordu.
Aşağı indim ve bir varil buldum. Ona sağlam bir ip bağlayarak
altıncı kata çıktım. İpi bir çıkrıktan geçirip ucunu aşağıya saldım.
 Tekrar aşağıya indim ve ipi çekerek varili altıncı kata çıkardım
. İpin ucunu sağlam bir yere bağlayıp tekrar yukarı çıktım.
 Bütün tuğlaları varile doldurdum ve daha sonra aşağı indim.
Daha önce bağladığım ipin ucunu çözdüm. İpi çözmemle birlikte
 birden kendimi havalarda buldum. Nasıl bulmayayım? Ben yaklaşık
70 kiloyum. Varil ise içindekiler ile birlikte 250 kilo. Dolayısıyla
 250 kiloluk varil süratle aşağıya düşerken beni yukarı çekti.
Heyecan ve şaşkınlıktan ipi bırakmayı akıl edemedim. Yolun yarısında
dolu varille çarpıştık. Sağ iki kaburgamın bu sırada kırıldığını
 sanıyorum. Tam yukarı çıkınca, iki parmağım iple beraber çıkrığa
 sıkıştı. Parmaklarım da bu sırada kırıldı. Bu esnada yere çarpan
 varilin dibi çıktı ve tuğlalar etrafa saçıldı. Varil hafifleyince,
 bu sefer ben aşağı inmeye, varil de yukarı çıkmaya başladı ve yolun
yarısında yine varille çarpıştık. Sol bacağımın kavalkemiği de bu sırada
kırıldı. Can havli ile ipi bırakmayı akıl ettim. Başımı yukarı kaldırdığımda
 boş varilin süratle üzerime geldiğini gördüm. Kafatasımın da böyle çatladığını
 sanıyorum. Bayılmışım, gözümü hastanede açtım. Cenab-ı Hakk'ın tüm kullarını böyle
 görünmez kazalardan korumasını diler, hürmetle ellerinizden öperim.

      “...evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır.”           G. H. HARDY

ÖDÜLLÜ SORU:   

 
     
 

      

 
ALTIN ORAN VE FİBONACCİ SAYILARI

Doğada birbiriyle ilişkisiz canlı veya cansız ,sanatın her dalında, görsel, işitsel ve diğer tüm duyulara hitap eden iletişim şekillerinde, tasarımın biçimlenişinde ve hatta evrenin keşfedebildiğimiz bir çok düzeninde ortak bir düzenleme vardır. Bu düzenleme Altın Oran adı verilen bir sistem ve matematiksel açılımı olan bir oran-orantı kuralına sahiptir.

Adı orta çağın en büyük matematikçileri arasında geçen Fibonacci’nin hayatı ile ilgili pek fazla bilgi bulunmamaktadır. İtalya’nın Pisa şehrinde 1170’li yıllarda doğduğu sanılmakta, babasının işi nedeniyle Kuzey Afrika’ya ve Cezayir’e gitttiği ve burada Arap hocalardan matematik dersleri aldığı bilinmektedir. Hint-Arap sayılarını (1, 2, 3...) öğrenerek, bunları Avrupa’ya tanıtmıştır. Bu bakımdan Fibonacci, matematiği Araplardan alıp Avrupa’ya tanıtan kişi olarak anılır.İtalyan matematikçi Fibonacci yazdığı matematik kitaplarından birinde tavşan çiftliği olan bir arkadaşıyla ilgili olduğunu iddia ettiği bir problem sorar.Bu probleme göre çiftlikteki tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmazlar.Üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar.İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşan vardır.İkinci ayda bu tavşanlar henüz yavrulamadıkları için hala bir çift tavşan vardır.Üçüncü ay bunlar bir çift yavru verir ve iki tavşan olur.Yeni doğan çift dördüncü ay doğurmayacak,oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapar ve toplam üç çift tavşan olur.Bu şekilde devam edilirse; tavşan çiftleri aylara göre şu sıralamayı ortaya koymaktadır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Görüldüğü gibi ilk iki sayı hariç, her sayı kendisinden önce gelen iki sayının toplamına eşittir. Tavşanlar, görülen grafik doğrultusunda artış göstermektedir. Bu sayıların arasındaki oran ise bize altın oranı vermektedir.

Altın oran, 1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan iki sayıdan biridir.  Altın oran 1,618033.... olarak devam eden ondalık sayıdır.  1 sayısına eklendiğinde kendi karesine eşit olan diğer sayı da - 0,618033... olarak devam eden ondalık sayıdır.

Tarihte görülebileceği gibi Sanatçılar bu özelliği kullanıp göze güzel görünen eserler meydana getirmişlerdir. Örneğin Mona Lisa tablosunun boyunun enine oranı altın oranı verir. Mona Lisa'nın yüzünün etrafına bir dikdörtgen çizdiğinizde ortaya çıkan dörtkenar bir altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgeni, göz hizasında çizeceğiniz bir çizgiyle ikiye ayırdığınızda yine bir altın oran elde edersiniz. Resmin boyutları da altın oran oluşturmaktadır.

İLGİNÇ SAYILAR

831831

831831 / 7       = 118833
831831 /
11     = 75621
831831 /
13     = 63987
831831 /
77     = 10803
831831 /
91     = 9141
831831 /
143   = 5817
831831 /
1001 = 831


KIRMIZI TOPUN HACMİ  
Bir matematikçi, bir fizikçi ve bir mühendise bir kırmızı top verip bunun hacmini nasıl bulacaklarını sormuşlar.

Matematikçi, bir mezura ile etrafını ölçüp formülle yarıçapını hesapladıktan sonra diğer bir formülle yarıçapından hacmini bulacağını söylemiş.

Fizikçi ise topu suya batırıp yer değiştiren suyun hacmini ölçerek topun hacmini bulabileceğini söylemiş.

Top son olarak mühendisin eline verilmiş, mühendis topu şöyle biraz çevirip bakmış ve sonra:
"Bana kırmızı toplar kataloğunu bulun" demiş.
 

 

 

 

Doğru yolda yürüyen ayağı aksak bir insan, yolunu şaşıran bir koşucudan daha önce hedefine ulaşır.

ÖDÜLLÜ SORU:  

Bir kurt, bir kuzu ve bir balya da samanı bir nehirde karşıdan karşıya geçirmeniz gerekiyor.

Kurallar ise şöyle:

1- Sandalda en fazla bir kişilik veya eşyalık yer var.
2- Eğer yalnız kalırlarsa kurt kuzuyu, kuzu samanı yer.
Verilen kurallara göre hiç bir zayiat vermeden karşıya geçmek mümkün mü?

 
     
İLGİNÇ SAYILAR


İbni Sina ve Taşların Üzerindeki İp İzleri  
Büyük alim İbni Sina çocukluk yıllarında matematik dersinde başarılı olur ve medreseden kaçar. Gide gide bir kuyunun başına varır. Kuyudan kovayla su çekmek için eğildiğinde, kuyunun ağzını çevreleyen taşlar üzerindeki ip izlerini görür. İp, gide gele, o sert taşlar üzerinde izler bırakmıştır. Bu, küçük İbni Sina'yı derin düşüncelere götürmüştür ve:

"Bu yumuşacık ip, gide gele gide gele bu sert taş üzerinde bu izleri yaparsa, ben de azimle çalışırsam, matematiği başarırım." der ve kuyunun başından tekrara derslerinin başına döner. Böylece, bildiğimiz İbni Sina ortaya çıkar.

Çalışmak, özellikle sistemli çalışmak zekayı, hafızayı açtığı gibi, tembellik de köreltir.

 

 

iconflash.gif (1595 bytes)2+2=5  ¿?

X = Y ................................................olsun
X² = X.Y............................................eşitliğin her iki tarafını 'X' ile çarptık.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çıkardık.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı 'Y' parantezine aldık.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadeleşti.
X + X = X..........................................X = Y olduğundan,
2.X = X..............................................'X' leri topladık.
2 = 1 ................................................'X' ler sadeleşti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4..................................................buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2'  şeklinde yazdık.  HATA NEREDE?

 

 

      

 
MATEMATİKÇİ      
Balonla seyehat etmekte olan bir grup yolunu kaybeder ve biraz alçalarak aşağıdaki kişiye yaklaşırlar. İçlerinden biri aşağıya bağırır:

- Heyyy!.. Şu anda nerdeyiz?.. Aşağıdaki şahıs onlara şöyle bir bakar ve biraz düşünüp dalgın dalgın cevap verir:

- Bir balonun içinde ve oldukça alçaktasınız... Balondaki adam doğrulur ve arkadaşlarına:

- Biliyor musunuz bu adam matematikçi?.. der. Bunun üzerine balondaki diğer şahıslar bunu nerden anladığını sorduklarında şöyle yanıtlar:

- Birincisi, çok düşündü, ikincisi söylediği şey kesin olarak doğru... Üçüncüsü, bir işe yaramıyor...

KOLAY MATEMATİK

1)      5  ile çarpmak: Bir sayıyı  5 ile çarpmak için 10 ile çarpıp yarısını almak yeterlidir

 2)      9 ile bölümden kalanın bulunması: Verilen sayının rakamları toplanır, elde edilen sayının tekrar rakamları toplanır. En son elde edilen toplam 9 dan küçük oluncaya dek rakamlar toplanır, sonuçta elde edilen 9 dan küçük rakam kalan sayıyı verir. Örnek: 8256 nın 9 ile bölümünden kalan nedir? kalan 3 tür.                Örnek:679345 sayısının 9 ile bölümünden kalan nedir?kalan 7 dir.

 Örnek:  57x11=627Örnek: 4868x11=535483)      11 ile çarpma : Verilen sayının birler basamağı ile onlar basamağı toplanır birler basamağındaki  rakamın soluna yazılır. Elde var ise onlar basamağına eklenir ve onlar basamağı ile yüzler basamağı toplanır.8 yazılır. 6+8=14,  8 in soluna 4 yazılır. 8 e 1 eklenir 9 ile 6 toplanır. 9+6=15 yüzler basamağına 5 yazılır. Elde olan 1 ile 4 e eklenir. 5 ile 8 toplanır. 5+8=13 , 3 binler basamağına yazılır, elde 1 kalır. 1+4=5 olup toplanacak başka rakam kalmadığından on binler basamağına yazılır.

4)      Sonu 5 olan sayıların karesini almak: Beşin solundaki rakam 1 artırılır. Onlar basamağı ile çarpılır. Çarpım yazılır ve çarpımın sağına 25 yazılır. Örnek: (45)²  = ?               4+1=5 olup, 4.5=20 dir.  20 nin yanına 25 yazılır.               (45)² = 2025 Örnek: (135)²=1822513+1=1413x14=18225 in soluna 182 yazılır.

 

 
  Bugün 7 ziyaretçi (10 klik) kişi burdaydı!  
 
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=